И что может быть если бабушка, либо тетя обратятся в суд со всеми чеками и квитанциями?

Добрый день!

Если Вы передавали наличными денежными средствами, то уже никак не докажите.

А вообще можно переводить на карту, или брать каждый раз расписку от бабушки о том, что она получила деньги.

Самый идеальный для Вас вариант — подать в суд для разделения лицевых счетов. Тогда у бабушки будет свой счет, у Вашего отца свой. И никакие деньги никому передавать не нужно будет. Он просто будет оплачивать свои счета.

Если Вам нужна более подробная консультация по данному вопросу или подготовка/проверка документов, то можете обращаться ко мне в чат, там мы согласуем все условия оказания этой услуги. Для того, чтобы написать мне в чат, необходимо зайти в мой профиль:  pravoved.ru/lawyer/2587318/, после этого нажать кнопку «Обратиться к юристу» или «Сообщение юристу».

Добрый день. Советую Вам с сегодняшнего дня фиксировать распиской ваши наличные деньги, переданные в счет оплаты половины суммы коммунальных платежей. 
А если они обратиться в суд, и будут утверждать, что ни копейки денег от вас не получали, то можете ходатайствовать о проведении проверки на полиграфе, что будет косвенно подтверждать вашу правоту. Даже в случает отказа на проведения проверки на полиграфе от бабушки и тети. 
Мой совет, если не доверяете своим родственникам, то подстрахуйтесь самостоятельно. 

1. Нет, передачу наличных без письменных доказательств доказать сложно. 

2. Если обратятся, то за компенсацией оплаты, то есть неосновательного обогащения (ст. 1102 ГК РФ). Так отдали, да ещё и с пенями второй раз.

Возьмите доверенность от отца и разделите счета в судебном порядке,  либо просто платите половину, копии чеков бабушке. Та пусть свою половину платит.