Подскажите, могу ли я подать на них в суд, и на каких основаниях?

Здравствуйте. Необходимо смотреть Ваш договор, условия   при заключении, также право о передачи долга третьим лицам. Кроме того, Вы можете  в суде заявить о сроке давности, т. к. по истечении общего срока давности в 3 года,    по закону требовать  с Вас  взыскать долг  — нельзя. 

Так как мне закрыть этот вопрос с банком. Могу ли я сама на банк в суд о закрытии долга?

Вера, добрый день! Нет, обращаться в суд с таким требованием Вы не можете, Вы должник а не кредитор, и насколько понимаю никаких принудительных списаний средств в счет долга ни банком ни третьими лицами не производилось. Само по себе истечение срока давности лишь дает Вам право заявить о его пропуске если кредитор обратится в суд с иском (чего он уже очевидно не сделает) либо самой обратится с иском если кредитор сможете принудительно взыскать часть долга. Но надо понимать, что кредитор не лишен возможности обратится в суд с заявлением о выдаче судебного приказа, в последнее варианте вопрос о применении срока давности не рассматривается в принципе, но и сам СП отменяется простой подачей возражений. Отражать неисполненную задолженность по кредиту не пытаясь ее взыскать принудительно кредитору закон не мешает