Скажите пожалуйста, нужна ли печать в таком случае и законно ли, что военник мне не дадут вовсе?

Добрый день.

сказав, что нет печатей на приказном листке с увольнением и нет печатей в учётной карте призывника.

 Печати в данном случае на указанных документах не требуются.

Приказ Министра обороны РФ от 22.11.2021 N 700  «Об утверждении Инструкции об организации работы по обеспечению функционирования системы воинского учета» отмечает, что в учетной карте призывника ставится только подпись  должностного лица, ответственного за ведение первичного воинского учета и дата заполнения карты.

Также в приказе  Министра обороны РФ от 04.04.2017 N 170 «Об утверждении Инструкции по делопроизводству в Вооруженных Силах Российской Федерации»  отмечается, что 

Реквизит «Печать» заверяет подлинность подписи должностного лица на документах, удостоверяющих права лиц, фиксирующих факты, связанные с финансовыми средствами или нотариальными действиями, а также на иных документах, предусматривающих заверение подписи печатью в соответствии с законодательными и нормативными правовыми актами Российской Федерации, правовыми актами Министерства обороны.

На указанных Вами документах реквизит печать действующим законодательством не предусмотрен, а соответственно, она там не ставится.