Могу ли я вы ставить ему претензию и если он откажет, то подать в суд?

Руководствоваться надо положениями Главы 37 ГК РФ о договоре подряда.

Ст. 714 ГК РФ предусматривает ответственность Подрядчика за несохранность предоставленных заказчиком материала, оборудования, переданной для переработки (обработки) вещи или иного имущества, оказавшегося во владении подрядчика в связи с исполнением договора подряда.

Согласно п. 2 и 3 ст. 715 ГК РФ если подрядчик не приступает своевременно к исполнению договора подряда или выполняет работу настолько медленно, что окончание ее к сроку становится явно невозможным, заказчик вправе отказаться от исполнения договора и потребовать возмещения убытков.
3. Если во время выполнения работы станет очевидным, что она не будет выполнена надлежащим образом, заказчик вправе назначить подрядчику разумный срок для устранения недостатков и при неисполнении подрядчиком в назначенный срок этого требования отказаться от договора подряда либо поручить исправление работ другому лицу за счет подрядчика, а также потребовать возмещения убытков.

Также права Заказчика по предъявлению Подрядчику требований по качеству работ предусмотрены в ст. 723 ГК РФ.

Согласно п. 1 ст. 723 ГК РФ в случаях, когда работа выполнена подрядчиком с отступлениями от договора подряда, ухудшившими результат работы, или с иными недостатками, которые делают его не пригодным для предусмотренного в договоре использования либо при отсутствии в договоре соответствующего условия непригодности для обычного использования, заказчик вправе, если иное не установлено законом или договором, по своему выбору потребовать от подрядчика:
безвозмездного устранения недостатков в разумный срок;
соразмерного уменьшения установленной за работу цены;
возмещения своих расходов на устранение недостатков, когда право заказчика устранять их предусмотрено в договоре подряда.

По вопросу оплаты:

Если была просрочка выполнения работы и при этом Заказчиком был оплачен аванс, он может требовать от Подрядчика оплаты процентов по ст. 395 ГК РФ на сумму аванса за весь период просрочки выполнения работ.

Размер процентов по ст. 395 ГК РФ берется от размера ключевой ставки ЦБ РФ, действовавшей в соответствующие периоды и рассчитывается по формуле:

размер процентов = сумма долга х ключевую ставку х кол-во дней просрочки: 365.