Какие вообще наши действия должны быть дальше?

Сложности таких дел  заключаются в том что варианты размена вашей квартиры вы должны подобрать сами, через риелторов, через ЦИАН… В суд должен быть предоставлен готовый вариант размена квартиры. который будет прописан в вашем исковом заявлении.  Последнее положительное решение такого рода в суде я например видела только в 2015 г. . 

Обращайтесь к риелторам. 

Статья 72. Право на обмен жилыми помещениями, предоставленными по договорам социального найма

3. Если между нанимателем жилого помещения по договору социального найма и проживающими совместно с ним членами его семьи не достигнуто соглашение об обмене, любой из них вправе требовать осуществления принудительного обмена занимаемого жилого помещения в судебном порядке. При этом учитываются заслуживающие внимания доводы и законные интересы лиц, проживающих в обмениваемом жилом помещении. В случае необходимости принудительного обмена жилого помещения, занимаемого по договору социального найма несовершеннолетним (несовершеннолетними) и гражданами, лишенными в отношении этих несовершеннолетних родительских прав, иными совместно проживающими с несовершеннолетним (несовершеннолетними) лицами, соответствующее требование в суд вправе предъявить законные представители несовершеннолетних, орган опеки и попечительства либо прокурор, если совместное проживание этих граждан с такими несовершеннолетними нарушает права и законные интересы несовершеннолетних.

Здравствуйте, Анастасия.

Собственно говоря, вопрос Ваш носит даже не юридический, а технический характер

Так вот вопрос, как самими искать и где квартиры для размена?

 То есть Вам необходимо найти двух обладающих правом пользования на условиях социального найма однокомнатных квартир, готовых проживать в одной трехкомнатной квартире и при этом, чтобы такой вариант не нарушал прав и законных интересов ни мамы, ни племянника, ни другой  стороны предполагаемого будущего договора обмена. Под заслуживающими внимание обстоятельствами, при наличии которых суд может отказать в удовлетворении Ваших (маминых) требований понимаются ( см. абз.4 п.34 Постановления Пленума Верховного суда РФ от 02.07.2009 N 14 «О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации»)

… обстоятельств, препятствующих им в силу возраста, состояния здоровья, места работы, учебы и т.п. пользоваться предоставляемым в порядке обмена жилым помещением. 

Определяется это всякий раз индивидуально в каждом конкретном случае.

Дополнительно следует учитывать условия, при которых обмен не допускается ввиду прямого запрета, предусмотренного законом, они поименованы в ст.73 ЖК РФ

Другими словами, вопрос сводится к поиску конкретных людей и квартир, а это задача не юриста, а специалистов по недвижимости, у них свои способы поиска — объявления разного рода, ведение баз данных и т.д.

Как вариант будет найден, предлагаете племяннику совершить обмен, в случае его необоснованного несогласия обращаетесь в суд с иском на основании ч.3 ст.72 ЖК РФ.