Как не лишиться прав и получить минимальный административный арест?

Так и просить. Со ссылкой на вышенаписанное.

Вы как лицо, привлекаемое к административной ответственности, имеете право высказываться по всем обстоятельствам дела, в том числе и по мере наказания.

И предоставьте суду медицинские документы о вашем обращении в медучреждение в тот день.

Возможно, Вам имеет смысл обратиться к очному юристу, так как с учётом того, что Вы поехали в больницу, можно попытаться уйти от состава правонарушения в принципе.

Согласно п. 2.5 ПДД, при дорожно-транспортном происшествии водитель, причастный к нему, обязан немедленно остановить (не трогать с места) транспортное средство, включить аварийную сигнализацию и выставить знак аварийной остановки, не перемещать предметы, имеющие отношение к происшествию.
Кроме того, в соответствии с п. 2.6 водитель обязан дожидаться сотрудников ГИБДД на месте происшествия, если в ДТП пострадали люди. Если пострадавшего необходимо доставить в больницу, то водитель может это сделать, но потом вернуться на место происшествия.
Есть решение Верховного суда, согласно которого виновник ДТП имеет право остаться безнаказанным за оставление места ДТП. Так, согласно п. 2.6.1 ПДД следует, что когда в ДТП вред причинен только имуществу, водители, причастные к нему, не обязаны сообщать о случившемся в полицию и могут оставить место происшествия, если в соответствии с законодательством об ОСАГО оформление документов о ДТП может осуществляться без сотрудников полиции. Для этого необходимо предварительно зафиксировать ДТП средствами фото и видеосъёмки, положение транспортных средств по отношению друг к другу и объектам дорожной инфраструктуры, следы и предметы, относящиеся к происшествию, повреждения транспортных средств.
Таким образом, есть вероятность того, что Вы можете остаться с водительским удостоверением на руках.

С уважением,

Юрист

Гулько Александр Владимирович