Имеет ли право суд взыскивать налог, по истечению срока исковой давности?

Суд самостоятельно срок давности не применяет. Применяет его только  в том случае если об этом просит сторона участвующая в деле. 

Здравствуйте! Истечение срока исковой давности является основанием для отказа в удовлетворении заявленных требований. В гражданском судопроизводстве суд по своей инициативе не может применять последствия пропуска срока, необходимо, чтобы об этом заявила сторона. Однако данные правила не распространяются на публичные правоотношения, а также налоговые правоотношения. 

То есть суд должен применить последствия пропуска срока исковой давности.

Здравствуйте!
Ваши отношения с ФНС по транспортному налогу регулируются Налоговым Кодексом РФ и скорее всего с Вас взыскивают налог в рамках главы 32 Кодекса административного судопроизводства:

Статья 286 КАС РФ. Право на обращение в суд с административным исковым заявлением о взыскании обязательных платежей и санкций

2. Административное исковое заявление о взыскании обязательных платежей и санкций может быть подано в суд в течение шести месяцев со дня истечения срока исполнения требования об уплате обязательных платежей и санкций, если иное не установлено федеральным законом. Пропущенный по уважительной причине срок подачи административного искового заявления о взыскании обязательных платежей и санкций может быть восстановлен судом.

Срок исполнения требования указан в ст. 69 НК РФ:

Требование об уплате налога должно быть исполнено в течение восьми дней с даты получения указанного требования, если более продолжительный период времени для уплаты налога не указан в этом требовании.

В таком случае имеет место на «гражданский» срок исковой давности, а специальный срок взыскания налога. В общем случае ФНС может требовать взыскания налога не более чем за последние 3 налоговых периода, и, по-моему, в этом случае имеет место «публичный» срок давности, о котором специально не требуется заявлять… но обратить на это внимание суда нужно обязательно!

Так что обратите внимание в Вашей ситуации на конкретные даты с учетом указанного выше