Или может сейчас можно всё сделать через МФЦ из другого региона?

Здравствуйте, Юрий.

Регистрация по месту жительства производится в соответствии с Адм.регламентом МВД РФ, утвержденным Приказом №984 от 31.12.2017 г. Согласно данному адм.регламенту, заявителями при подаче заявлений могут быть только либо сами регистрирующиеся, либо законные представители несовершеннолетних регистрируемых. (см.п.2 Адм.регламента), прием заявлений о регистрации или снятии с рег.учета от представителей по доверенности адм.регламентом не предусмотрена. Касаемо заявления, подаваемого через госуслуги — Вы через госуслуги записываетесь только на прием, Вам назначают дату и время для посещения с оригиналами документов (их перечень см. в п.48-50). При Вашей неявке предоставление гос.услуги приостанавливается. (см.п.60 Адм.регламента, кроме согласия собственника квартиры, так как в силу ст.20 ГК РФ местом жительства несовершеннолетних является место жительства их родителей). Подать документы в МФЦ в другом регионе Вы могли бы только при наличии соответствующего соглашения между органом рег.учета в г.Москве и МФЦ конкретного региона, в котором Вам было бы удобнее посетить МФЦ. (см.пп.5 ст. 5 Федерального закона от 27.07.2010 N 210-ФЗ  «Об организации предоставления государственных и муниципальных услуг»). Но у органов рег.учета такие соглашения заключены, как правило, только в своем регионе.  Поэтому чтобы зарегистрировать ребенка в квартире, где Вы сами зарегистрированы, Вы сами должны посетить МФЦ или непосредственно оргна рег.учета в г.Москве. 

Делиться практикой смысла не имеет, поскольку в отношениях несколько  участников: родитель ребенка, представитель по доверенности, МФЦ и сам орган рег.учета." И все зависит, по большому счету от личности каждого из них. следует учитывать, что далеко не все захотят отступить от  предусмотренного законом порядка.

Добрый день, Юрий!
В соответствии с п.2 ст. 20 Гражданского кодекса Российской Федерации:

2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Таким образом ребенок может быть зарегистрирован на любой из адресов, либо по адресу где зарегистрирована Ваша супруга, либо по тому адресу, где зарегистрированы Вы.
В п. 50 Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утв. Приказом МВД России от 31.12.2017 N 984  указано следующее:

50. При регистрации по месту жительства несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста одновременно с заявлением о регистрации по месту жительства законный представитель представляет следующие документы:
50.1. Свидетельство о рождении несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста.
50.2. Паспорта законных представителей.
50.3. Акт органа опеки и попечительства о назначении опекуна (в случае необходимости).

При этом не регламентирована процедура подачи заявления о регистрации другим лицом по доверенности от законных представителей ребенка. Однако запрета на такие действия так же законом не предусмотрено.

При наличии подтвержденной учетной записи заявление можно было бы подать через Единый портал Государственных услуг, однако в таком случае необходимо будет предоставить лично оригиналы документов в отделение МВД. Поэтому данный вариант Вам не подходит.

В соответствии с Законом РФ от 25.06.1993 N 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» для регистрации собственник (то есть бабушка новорожденного ребенка) жилого помещения обращается в паспортный стол своей управляющей организации, где уже имеются данные о собственнике, с заявлением о вселении внука и регистрации по месту жительства несовершеннолетнего ребенка, представив свидетельство о рождении ребенка. В данной ситуации также необходимо оформить нотариально засвидетельствованное согласие на вселение ребенка к бабушке с регистрацией по месту жительства.
С уважением.