У меня вопрос, должны ли выплачиваться северные надбавки, если магазин в котором я работаю является частным?

Не имеет значения где именно на крайнем севере вы работаете, частный магазин это или государственная организация. Согласно статье 317 Трудового кодекса Российской Федерации лицам, работающим в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, выплачивается процентная надбавка к заработной плате за стаж работы в данных районах или местностях. Размер процентной надбавки к заработной плате и порядок ее выплаты устанавливаются в порядке, определяемом статьей 316 ТК РФ для установления размера районного коэффициента и порядка его применения. 
Если работодатель вам отказывается платить такую надбавку можете обратиться в трудовую инспекцию с жалобой на него, они примут соответствующие меры.