В каком сейчас вообще статусе квартира, раз она не в собственности?

Также возможно заняться регистрацией права собственности на квартиру и сейчас, признав отца в судебном порядке недееспособным (госпошлина — 300 рублей) и оформив опекунство над ним. Затем опекун может вместо опекаемого подать документы на регистрацию права собственности.

Так, согласно ст. 281 ГПК РФ:

2. Дело о признании гражданина недееспособным вследствие психического расстройства может быть возбуждено в суде на основании заявления членов его семьи, близких родственников (родителей, детей, братьев, сестер) независимо от совместного с ним проживания, органа опеки и попечительства, медицинской организации, оказывающей психиатрическую помощь, или стационарной организации социального обслуживания, предназначенной для лиц, страдающих психическими расстройствами.

Это будет дешевле, чем обращение в суд с иском о включении квартиры в наследственную массу и признании права собственности в порядке наследования.

В каком сейчас вообще статусе квартира, раз она не в собственности?

Право собственности по решению суда  возникает с момента государственной регистрации (п. 2 ст. 8.1, п. 1 ст. 131 Гражданского кодекса  РФ).

До регистрации перехода права собственником остается прежний правообладатель.

1. Гражданин, который вследствие психического расстройства не может понимать значения своих действий или руководить ими, может быть признан судом недееспособным в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством. Над ним устанавливается опека.
2. От имени гражданина, признанного недееспособным, сделки совершает его опекун, учитывая мнение такого гражданина, а при невозможности установления его мнения — с учетом информации о его предпочтениях, полученной от родителей такого гражданина, его прежних опекунов, иных лиц, оказывавших такому гражданину услуги и добросовестно исполнявших свои обязанности.

ст. 29 Гражданского кодекса РФ

По вопросу, как поступить, то в идеале, если Ваш отец способен хоть к какой то деятельности, то лучше ему лично подать заявление о регистрации права в МФЦ.

Если он действительно не осознает сейчас характер своих действий, то Вы можете в судебном порядке признать его недееспособным, стать его опекуном и подать документы на регистрацию за него.

Но здесь тоже надо помнить, что процесс признания недееспособным не такой легкий, а также чреват потом различными последствиями — Вам придется стать его опекуном, нести полную ответственность за его действия, регулярно отчитываться перед органами опеки и расходовании его имущества, Вы также не сможете заключать никаких сделок по отчуждению его имуществом без согласия органов опеки.

Третий вариант это ничего не делать и оставить все как есть. После открытия наследства в судебном порядке включить квартиру в наследственную массу. С учетом наличия судебного решения о признании права собственности вряд ли процесс будет сложным и слишком длительным.

Ваша ситуация несколько проще, чем могла бы быть. Например, при приватизации имели место случаи, когда наследодатель только подал заявление о приватизации. И даже в этом случае можно было бы воспользоваться п. 8 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 24 августа 1993 года № 8 «О некоторых вопросах применения судами Закона РФ „О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации“, в которм суд указал:

… если гражданин, подавший заявление о приватизации и необходимые для этого документы, умер до оформления договора на передачу жилого помещения в собственность или до государственной регистрации права собственности, то в случае возникновения спора по поводу включения этого жилого помещения или его части в наследственную массу необходимо иметь в виду, что указанное обстоятельство само по себе не может служить основанием к отказу в удовлетворении требования наследника, если наследодатель, выразив при жизни волю на приватизацию занимаемого жилого помещения, не отозвал свое заявление, поскольку по не зависящим от него причинам был лишен возможности соблюсти все правила оформления документов на приватизацию, в которой ему не могло быть отказано...

Ввашем же случае уже имеется судебное решение о признании за отцом права собственности на указанное жилое помещение. Поэтому на мой взгляд, тут особых сложностей и после открытия наследства не будет.

Но если есть возможность признать отца недееспособным и получить права опекуна, конечно, лучше это сделать сейчас.