И сможет ли ребёнок получать на территории РФ услуги как гражданин?

Добрый день. Анастасия, отвечу на ваш вопрос по порядку. 

Основания для приобретения гражданства Российской Федерации по факту рождения перечислены в п.1 ст. 12 Федерального закона «О гражданстве Российской Федерации», согласно которому ребенок приобретает гражданство Российской Федерации по рождению, если на день рождения ребенка: 

а) оба его родителя или единственный его родитель имеют гражданство Российской Федерации (независимо от места рождения ребенка).

Этот вариант не подходит, так как вы гражданин Республики Беларусь. 

в) один из его родителей имеет гражданство Российской Федерации, а другой родитель является иностранным гражданином, при условии,что ребенок родился на территории Российской Федерации либо если в ином случае он станет лицом без гражданства;

Более подробнее здесь - http://www.consultant.ru/docum.... 

Как мы видим, в данном случае, ваш ребенок не получает автоматически гражданство РФ, поскольку он родился не на территории Российской Федерации и один из его родителей является иностранным гражданином. Ваш ребенок является гражданином Республики Беларусь в силу ст. 13 Закона РБ «О гражданстве» Республики Беларусь", согласно которой ребенок приобретает гражданство Республики Беларусь по рождению в случае, если на день рождения ребенка: 

хотя бы один из родителей ребенка состоит в гражданстве Республики Беларусь независимо от места рождения ребенка;

Ваш ребенок может получить гражданство РФ в упрощенном порядке в соответствии со ст. 14 Федерального закона «О гражданстве Российской Федерации», но этот вопрос может быть рассмотрен в рамках отдельной консультации. Более подробное здесь — http://www.consultant.ru/docum...

И сможет ли ребёнок получать на территории РФ услуги как гражданин?

Уточните, пожалуйста, о каких услугах собственно, идет речь? Государственные, муниципальные услуги или что-то иное?