Непонятно какие в итоге нужны документы, в каком законе об этом написано?

Здравствуйте, Елизавета!

Возможно, сотрудники ГИБДД не в курсе, что с 01.01.2020 регистрация транспортных средств, принадлежащих физическим лицам, не достигшим возраста 16 лет, осуществляется за одним из родителей, усыновителей либо опекунов (попечителей) — на срок до достижения ребенком указанного возраста.

Если собственником транспортного средства является гражданин Российской Федерации, не достигший 16-летнего возраста, дополнительно к обычному пакету документов представляется свидетельство о его рождении.

Никакого разрешения органа опеки не требуется. 

Если же Вы хотели, чтобы собственником ТС стал отец ребенка, то это невозможно, пока ребенку не исполнится 18 лет в силу прямого запрета (ст. 60 СК РФ и ст. 37 ГК РФ) на сделки между родителями и детьми (кроме дарения в пользу детей).

При отчуждении ТС третьему лицу, не являющемуся близким родственником (родители, братья/сестры, дедушки/бабушки), разрешение органа опеки будет нужно. 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).