Здравствуйте, Наталья.
К сожалению, в законодательстве нет специальной регламентации для учителей в части заполнения трудового договора и трудовой книжки, хотя специфика их деятельности, безусловно, этого требует.
Согласно Номенклатуре должность именуется «учитель» вне зависимости от преподаваемого предмета, кроме специально указанных случаев, типа учитель-логопед.
В данном случае, полагаю, уточнение «музыки» или «начальных классов» — относится к категории «вид поручаемой работы», такие сведения обязательно вносятся в тр. договор (ст. 57 ТК РФ).
Если в тр. договоре с учителем не указывать преподаваемый предмет (вид поручаемой работы), получится, что любому учителю можно поручить вести любой предмет, а это, конечно, не так.
На основании тр. договора эти же сведения должны были переноситься в приказ (сейчас издание приказа о приеме не является обязательным), а затем — в трудовую книжку.
Так что, полагаю, если в трудовом договоре изначально было указано «учитель музыки», а по доп.соглашению работник переведен постоянно на должность учителя с видом поручаемой работы «начальных классов», это должно быть отражено в трудовой книжке работника.