Здравствуйте, Сергей!
Если квартиры, которые приобрели супруги во время брака каждый на свое имя, были приобретены по возмездным сделкам (не по наследству, не по договорам дарения, не в результате приватизации и не по иным безвозмездным сделкам), то в силу ст. 34, 36 Семейного кодекса РФ эти квартиры принадлежат им на праве общей совместной собственности, независимо от того, что каждая квартира была оформлена на отдельного супруга.
Таким образом, в результате смерти супруга открылось наследство, состоящее, в частности, из его долей в праве собственности на каждую из квартир.
Одна из квартир им была завещана, как следует из Вашего вопроса. Но у супруга только лишь 1/2 доля в праве собственности на эту квартиру, что и является наследственным имуществом по этому завещанию. Соответственно, в отношении данной квартиры собственником 1/2 доли является супруга. А на вторую 1/2 долю вправе претендовать в размере 3/4 от неё дочь на которую завещание, а на 1/4 супруга, как обязательный наследник в силу ст. 1149 Гражданского кодекса РФ.
Что касается второй квартиры, то дочь и супруга вправе претендовать на 1/2 долю, как на наследство умершего отца и супруга, соответственно, в равных долях.
Однако, если супруга откажется от выделения доли в своей квартире, то дочь вправе обратиться в суд.
Так, согласно «Методических рекомендаций по оформлению наследственных прав» (утв. решением Правления ФНП от 25.03.2019, протокол N 03/19)
Супруга вправе претендовать на 1/2 долю этой квартиры как принадлежащую ей долю в общем имуществе супругов и 1/8 долю в качестве обязательной доли в наследстве, а всего 5/8 доли в этой квартире будут принадлежать супруге.
Да, она вправе претендовать на 1/4 долю в квартире, зарегистрированной на имя супруги, при условии, что она была приобретена в период брака на общие доходы супругов.