Подскажите, могут ли они подать на меня в суд, в проигрышном ли я положении?

Здравствуйте, Данил. Если человек, работающий неофициально, хочет уволиться сам, то ему можно просто не выходить на работу. Никого уведомлять не надо, ничего подписывать — тоже.

Если как вы пишите, вы работали неофициально, значит, вы не работали там в принципе. т.е. вы не заключали трудовой договор, вы не видели приказ о вашем приёме на работу и у вас нет записи в трудовой книжке. Вы просто договорились с неким человеком, который принимал вас на работу и вышли на неё неофициально. Вот в этом случае вы не должны никаких заявлений.

Если же, вы не подписывали трудовой договор но запись в трудовой обнаружили.  Мой вам совет — не платите. Есть такой замечательный орган — трудовая инспекция (гос.инспекция по труду). Вы скажите своему работодателю, что отправитесь туда непременно, напишите жалобу т.к. считаете, что ваши права были нарушены. И пусть инспектор по труду с сей организацией и разбирается.