Подскажите, пожалуйста, как мне правильно поступить, чтобы они могли беспрепятственно получать свои законные пенсии, проживая на территории Болгарии

Выше в первом ответе я  привел общие положения законодательства, что касается этого вопроса:

переездом родителей пенсионеров и брата инвалида-детства второй группы (социальная пенсия) в Болгарию.

С учетом имеющегося договора и соглашения между странами, назначение и получение пенсии РФ возможно, но только страховой (трудовой), что касается социальных пенсий, если Ваш брат получает именно такую, то социальные пенсии по инвалидности в том числе, постоянно проживающим за пределами РФ не выплачиваются, а выплачиваемые ранее прекращаются.

Это также следует из положения Соглашения:

Статья 6

1. Назначение, перевод с вида на вид, перерасчет и пересмотр пенсий (кроме социальной пенсии — в Российской Федерации и пенсий, не связанных с трудовой деятельностью, — в Республике Болгарии) осуществляется на основании заявления…

https://docs.cntd.ru/document/...

Федеральный закон «О государственном пенсионном обеспечении в Российской Федерации» от 15.12.2001 N 166-ФЗ Статья 11. Условия назначения социальной пенсии нетрудоспособным гражданам:

1. Право на социальную пенсию в соответствии с настоящим Федеральным законом имеют постоянно проживающие в Российской Федерации:
1) инвалиды I, II и III группы, в том числе инвалиды с детства;
2) дети-инвалиды;

http://www.consultant.ru/docum...

Также с дополнительными разъяснениями можете ознакомиться по следующим официальным ссылкам Пенсионного фонда РФ:

Как уехать за границу и не потерять пенсию

https://pfr.gov.ru/branches/am...

Пенсионное обеспечение лиц, проживающих за границей

https://pfr.gov.ru/grazhdanam/...