Возможно ли подать в суд и что именно требовать от застройщика?

Здравствуйте. Даже несмотря на то, что акт подписан, подать в суд на застройщика Вы можете. В силу ст. 7 ФЗ  «Об участии в долевом строительстве многоквартирных домов и иных объектов недвижимости и о внесении изменений в некоторые законодательные акты Российской Федерации» от 30.12.2004 N 214-ФЗ

2. В случае, если объект долевого строительства построен (создан) застройщиком с отступлениями от условий договора и (или) указанных в части 1 настоящей статьи обязательных требований, приведшими к ухудшению качества такого объекта, или с иными недостатками, которые делают его непригодным для предусмотренного договором использования, участник долевого строительства, если иное не установлено договором, по своему выбору вправе потребовать от застройщика:
1) безвозмездного устранения недостатков в разумный срок;

2) соразмерного уменьшения цены договора;
3) возмещения своих расходов на устранение недостатков.

Соответственно Вы вправе подать в суд и требовать согласно ФЗ.

Если проект был частью договора или в условиях договора указано,  что имеется лоджи, то вы можете просить уменьшить стоимость квартиры либо расторгнуть договор и вернуть деньги, убытки, моральный вред.