ДОбрый день, Полина.
Нужно ли писать заявление об увольнении?
Нет.
Придется ли отрабатывать 2 недели?
Нет. Так как заявление об увольнении пишется за две недели в случае трудовых отношений. В Вашем случае Вы не подписывали трудовой договор.
Что касается оплачиваемого обучения, то оно должно было быть прописано в договоре или доп соглашением.
Таким образом Вы не должны ни чего работодателю.
В случае предъявления работодателем каких либо требований, напомните ему о
КоАП РФ Статья 5.27. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права
Уклонение от оформления или ненадлежащее оформление трудового договора либо заключение гражданско-правового договора, фактически регулирующего трудовые отношения между работником и работодателем, —
влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, — от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.