Сын брата в квартире не проживает, но стоит на учёте в районной поликлинике и ходит в школу по месту прописки

Здравствуйте, Александр!
Согласно ч.2 ст.292 ГК РФ Переход права собственности на жилой дом или квартиру к другому лицу является основанием для прекращения права пользования жилым помещением членами семьи прежнего собственника, если иное не установлено законом.

 Вопрос в следующем: может ли брат передать в собственность отцу свою долю в квартире без выписки своего ребёнка?

Может, но просто стоит сделать  так, чтобы этого не произошло. Достаточно прописать  обязанности в договоре и проследить за их исполнением.  

Если да, то может ли отец в дальнейшем подарить или завещать эту квартиру и как потом выписать ребёнка брата? 

Да, может.  

Здравствуйте, Александр.

Отец оформляет на него загородный дом, а брат на него свою четверть в квартире

Александр

То есть планируется договор мены (см. ст.567 ГК РФ). Данный договор возможен и без снятия сына Вашего брата с регистрационного учета по месту жительства в квартире. Регистрация вообще в принципе не влияет на возможность отчуждения.

Если да, то может ли отец в дальнейшем подарить или завещать эту квартиру и как потом выписать ребёнка брата?

Александр

Отец, как собственник может любым образом распоряжаться принадлежащим ему имуществом — завещать, подарить, продать и т.д. — см. п.2 ст.209 ГК РФ.

Ваш брат либо самостоятельно регистрирует своего сына по новому месту жительства, либо это делает собственник (Ваш отец) в судебном порядке, заявляя в суд требование о признании внука утратившим право пользования (см. пп.«е» п.31 Правил регистрации  и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета). При этом правовыми основаниями признания утратившим право пользования будут ст.20 ГК РФ, п.2 ст.292, ст.304 ГК РФ, ч.2 ст.30 ЖК РФ.

Ключевое желание отца в том, чтобы квартира или её часть в дальнейшем не достались ни брату ни его детям!

Александр

Регистрация чья-либо не является вообще основанием для возникновения у зарегистрированного права собственности.