Сейчас же они говорят, что нужно подписывать рапорт по новой форме, в котором должны быть подписи всех должностных лиц, которых я могу не успеть собрать за оставшиеся 1, 5 недели

Добрый день. Глупости Вам говорят. На увольнение по окончанию контракта рапорт вообще не нужен.

он нужен для заключения  контракта

В силу ст. 9 Полжения о порядке прохождения военной службы (Указ президента РФ № 1237 от 1999 года)

11. Военнослужащий, проходящий военную службу по контракту, не подавший по команде рапорт о заключении с ним нового контракта в срок, установленный пунктом 9 настоящей статьи, представляется к увольнению с военной службы.

Можете ничего не писать

Андрей, добрый день.

Кадровик сказал, что пока рапорт не подпишу у всех, меня не уволят!

андрей

Это не возможно и незаконно.

Военнослужащий подлежит увольнению с военной службы в связи с истечением срока его контракта.

В силу ст. 34 Положения о порядке прохождения военной службы

3. Военнослужащийподлежит увольнению с военной службы:
б) по истечении срока военной службы по призыву или срока контракта — при отсутствии других оснований для увольнения (подпункт «б» пункта 1 статьи 51 Федерального закона);

В том случае, если Вы проходите службу в ВС РФ, то по смыслу приказа МО РФ от 30.10.2015 N 660

Командир (начальник) воинской части:
а) за шесть месяцев до достижения военнослужащим предельного возраста пребывания на военной службе или окончания соответствующего контракта:
уточняет у военнослужащего вопрос заключения им нового контракта, учитывая наличие необходимой выслуги лет для назначения пенсии за выслугу лет, состояние здоровья, обеспеченность жилым помещением по установленным нормам;
в) за три месяца до достижения военнослужащим предельного возраста пребывания на военной службе или окончания соответствующего контракта:
доводит до военнослужащего принятое решение о его дальнейшем служебном предназначении;

В том случае, если Вы не изъявили желание заключить контракт, путем подачи соответствующего рапорта — то в отношении Вас должны принять решение об увольнении, независимо от того подали ли Вы рапорт на увольнение по истечении контракта или нет.