Если нет, требуется ли нотариально заверять доверенность от этого ребёнка на родителя?

Здравствуйте. 

В соответствии со статьей 21 Гражданского кодекса Российской Федерации способность гражданина своими действиями приобретать и осуществлять гражданские права, создавать для себя гражданские обязанности и исполнять их (гражданская дееспособность) возникает в полном объеме с наступлением совершеннолетия, то есть по достижении восемнадцатилетнего возраста.

С 18 лет гражданин сам должен заключать договоры от своего имени. 

Ваши родительские права прекратились с того, момента, когда ребенку исполнилось 18 лет. 

Статья 61 Семейного кодекса РФ. Равенство прав и обязанностей родителей

2. Родительские права, предусмотренные настоящей главой, прекращаются по достижении детьми возраста восемнадцати лет (совершеннолетия), а также при вступлении несовершеннолетних детей в брак и в других установленных законом случаях приобретения детьми полной дееспособности до достижения ими совершеннолетия.

Поэтому с точки зрения закона вы не имеете никаких прав заключать договоры от имени своего совершеннолетнего ребенка. Если такое желание есть, то возьмите от него нотариальную доверенность.