Здравствуйте, Дмитрий.
Нет, не могут.
Согласно части 1 статьи 80 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ «Об исполнительном производстве» судебный пристав-исполнитель в целях обеспечения исполнения исполнительного документа, содержащего требования об имущественных взысканиях, вправе, в том числе и в течение срока, установленного для добровольного исполнения должником содержащихся в исполнительном документе требований, наложить арест на имущество должника.
Прописка, т.е. регистрация гражданина по месту жительства или месту пребывания, не является основанием приобретения права собственности на имущество в соответсвии со статьей 218 Гражданского кодекса Российской Федерации. Соотвественно, квартира родителей не может быть отнесена к принадлежащему вам имуществу, на которое мог бы быть наложен арест,
учитывая то, что вы лишь прописаны в квартире родителей и не являетесь ее собственником.