Могут.
Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу
з)
поступившим на службу в органы внутренних дел, Государственную
противопожарную службу, учреждения и органы уголовно-исполнительной
системы, органы по контролю за оборотом наркотических средств и
психотропных веществ и таможенные органы Российской Федерации
непосредственно по окончании образовательных организаций высшего
образования указанных органов и учреждений соответственно, при наличии у
них высшего образования и специальных званий — на время службы в
указанных органах и учреждениях;
и) имеющим ребенка и жену, срок беременности которой составляет не менее 26 недель;
Я выделил основную часть. Вы не поступили на службу в ПЧ МЧС непосредственно по окончании образовательной организации высшего
образования указанного органа. Т.е. если бы вы закончили АГПС МЧС России, где сейчас обучаетесь, и сразу поступили на службу в МЧС, то вам бы полагалась отсрочка.
Вам нужно искать основания для освобождения/отсрочки от призыва по другим направлениям.
Насчет справки с военкомата для загранпаспорта. Она не требуется. Уже давно действует совместный приказ ФМС и Мин. Обороны о предоставлении сведений. Если ФМС требует такую справку, то значит их требование незаконно.
Можете зайти на сайт «госуслуг» и убедиться. Там написано, что такая справка предоставляется по желанию.
