Обязан ли воспитатель высшей квалификационной категории иметь персональный сайт и имеет ли право руководитель составлять акт на работника за не открытие сайта?

Здравствуйте, Елена!

В соответствии со ст. 192 ТК РФ 

За совершение дисциплинарного проступка, то есть неисполнение или ненадлежащее исполнение работником по его вине возложенных на него трудовых обязанностей, работодатель имеет право применить следующие дисциплинарные взыскания:

1) замечание;
2) выговор;
3) увольнение по соответствующим основаниям.

Исходя из изложенного, дисциплинарным проступком является неисполнение возложенных на работника трудовых обязанностей. 

Ваши должностные обязанности определяются вашим трудовым договором и должностной инструкцией, возложение на работника иных обязанностей, не предусмотренных трудовым договором, не допускается (ст. 60 ТК РФ). 

Порядок наложения дисциплинарного взыскания определен ст. 193 Трудового кодекса РФ. 

Дисциплинарное взыскание может быть обжаловано работником в государственную инспекцию труда и (или) органы по рассмотрению индивидуальных трудовых споров (ст. 193 ТК РФ).

Если ведение персонального сайта определено как ваша должностная обязанность, то да, привлечение к дисциплинарной ответственности правомерно. 

Если же данная обязанность (ведение персонального сайта) не предусмотрена вашим трудовым договором, должностной инструкцией (с которой вы должны быть ознакомлены), говорить о правомерности дисциплинарного взыскания не приходится.