Если владелец кота решит подать на меня за это в суд, закон будет на моей стороне?

Здравствуйте Марина.

В пункте 6 указано, что владелец кота оформляет в своём клубе помет за счёт средств владельца кошки. 

В первую очередь, нужно руководствоваться условиями заключенного между Вами и другой стороной договора, именно им регулируются  Ваши с ней правоотношения.

В соответствии с положениями статьи ГК РФ Статья 421. Свобода договора следует что:

1. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.
2. Стороны могут заключить договор, как предусмотренный, так и не предусмотренный законом или иными правовыми актами.  http://www.consultant.ru/docum...

В соответствии с положениями статьи ГК РФ Статья 310. Недопустимость одностороннего отказа от исполнения обязательства следует что:

1. Односторонний отказ от исполнения обязательства и одностороннее изменение его условий не допускаются,... http://www.consultant.ru/docum...

Мною было написано обращение во Всемирную федерацию кошек, в их письме было указано, что не смотря не на что, помет регистрируется только на кошку и только в том клубе в котором она состоит.

Да, это понятно. Но учитывайте то, что между Вами был заключен гражданский договор,  где закон предусматривает волю сторон, т.е. свободу договора,  при определении ими условий, и условия могут быть признаны недействительными только в случае их противоречия — закону. Но правила  Всемирной федерации кошек нормативным правовым актом т.е. законом не являются. А значит стороны были вправе установить и иные условия свои правоотношения в рамках договора, учитывайте это.

Я хочу оформить документы заново, как гласит устав wcf в клубе кошки и на имя своего питомника, в письме указано, что должно быть только так. Если владелец кота решит подать на меня за это в суд, закон будет на моей стороне? 

Суд будет на стороне того, кто буквально руководствуется договором в данной ситуации. А потому, Вы конечно имеете полное законное право перенести рассмотрение и разрешение спора в суд, но учитывайте  обязательно условия договора который с Вами был заключен, от этого и исходите.  Возможно более оптимальный вариант все таки будет договориться во внесудебном порядке с другой стороной договора, в такой ситуации.

Ведь их действия не правоправны, они не могут выдавать эти родословные и вымогали с меня деньги за это. 

Их действия будут являться противоправными тогда, когда их таковыми признает в установленном порядке уполномоченный орган, к примеру тот же суд в случае рассмотрения спора между Вами и ими в суде и вынесения положительного для Вас решения суда. 

Но если их действия полностью соответствуют условиями заключенного с Вами договора, их никак противоправными назвать нельзя по крайней мере в настоящее время,  договор заключен, его никто не отменял не изменял, а значит если это так, они действуют правомерно, следует это учитывать, а спор может разрешить суд в установленном законом порядке.

И если вдруг, после прививки владелица не заберёт котёнка, правомерно ли то, что я оставлю котёнка себе, а залог остаётся у неё?

Опять же, такое право возможно только в случае, если оно прямо закреплено условиями заключенного договора. Если такого условия договор не содержит, прямо его использовать нельзя, для этого   в таком случае нет никаких законных оснований, а они даются согласно договору. В таком случае и этот вопрос придется разрешать только в судебном порядке, так как опять возникает спор.