Здравствуйте, Роман.
Если иное не предусмотрено договором найма, Вы должны платить коммунальные услуги с момента заключения договора и предоставления Вам жилплощади.
Если Вы заключали договор в декабре, но по своей инициативе въехали только в январе, Вы должны заплатить услуги за декабрь.
Договоритесь с собственником, заплатите коммунальные услуги в счет платежей по найму за январь, февраль.
Согласно ст 678 ГК РФ, если договором не установлено иное, Вы обязаны самостоятельно вносить коммунальные платежи.