ООО оказывает стоматологические услуги (ОКВЭД 86.23), руководителем является "Директор", который сам оказывает

Добрый день, Елена!

Каких-либо официальных разъяснений по Вашему вопросу обнаружить не удалось. Между тем, полагаю необходимым отметить следующее. Как следует из п. 1 Порядка оказания медицинской помощи взрослому населению при стоматологических заболеваниях (утв. приказом Министерства здравоохранения Российской Федерации от 31 июля 2020 г. N 786н):

Настоящий Порядок устанавливает правила организации оказания медицинской помощи взрослому населению при стоматологических заболеваниях медицинскими организациями и иными организациями, осуществляющими медицинскую деятельность (далее — медицинские организации).

Следовательно, указанный нормативный правовой акт (Приказ от 31 июля 2020 г. N 786н) не регулирует корпоративные вопросы деятельности медицинских организаций и не устанавливает каких-либо обязательных требований в данной части. Более того, данный приказ содержит положение согласно которому (п. 2 Правил):

Рекомендуемые штатные нормативы не распространяются на медицинские организации частной системы здравоохранения.

Таким образом, ответ на вопрос:

Может ли должность руководителя называться «Директор» или необходимо вносить изменения в связи с изменениями в наименованиях должностей по новому приказу № 786н Руководитель (главный врач, директор, президент, начальник) стоматологической поликлиники — Главный врач стоматологической поликлиники

— название должности единоличного исполнительного органа медицинской организации, созданной в форме ООО  «Директор»  полностью соответствует Федеральному закону от 8 февраля 1998 г. N 14-ФЗ «Об обществах с ограниченной ответственностью». Однако, во избежание ошибок  рекомендуется также сделать официальный запрос в Министерство https://minzdrav.gov.ru/recept... по данному вопросу в порядке, установленном Федеральным законом от 2 мая 2006 г. N 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации».