Работала месяц, официально не устроили, по какой-то причине, но книжка у них

Добрый день, Наталья.

Обращайтесь в трудовую инспекцию или в суд за выплатой. Сначала конечно можете направить претензию работодателю, пригрозив ответственностью.

ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. 

Наталья, если нужна помощь в составлении иска или жалобы — обращайтесь.