Здравствуйте, подключил интернет, через два дня захожу в личный кабинет для оплаты, вижу там не свою фамилию, могу ли я требовать у них деньги за моральный ущерб?

Добрый день. 

Моральным ущербом считаются моральные и физические страдания, которые были перенесены потерпевшим или его родственниками вследствие противоправных действий третьих лиц.

Не совсем понятно, что привело к тому, что вы испытали моральные страдания.

ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда
 Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.