Также в свидетельстве о рождении ребёнка нужно ли менять мои данные или это необязательно?

Здравствуйте.По вашему вопросу могу пояснить следующее:

нужно ли в свидетельстве о браке менять данные? Ведь мне в свидетельстве о разводе нужно чтобы было указано гражданка РФ,

 в свидетельстве о браке ничего менять не нужно, и никто вам этого не сделает. Ведь на момент заключения брака вы не являлись гражданкой РФ, а являлись  гражданкой Молдовы. 

Поскольку теперь, на момент расторжения брака, вы получили российское гражданство, в свидетельстве о расторжении брака будет указано «гражданка РФ».

Могут ли нас развести без суда? Ребёнок живет со мной, на алименты подавать не планирую, ребёнку чуть больше 3 лет.

нет, поскольку у вас есть совместный несовершеннолетний ребенок, расторгнуть брак даже при отсутствии спора, взаимном согласии обоих супругов на расторжение брака, отсутствие спора о ребенке и т.п., можно только подав заявление о расторжении брака в мировой суд.

Исключение составляют случаи, когда второй супруг признан в установленном порядке недееспособным, безвестно отсутствующим, либо осужден к лишению свободы на срок выше трех лет.

в этом случае можно развестись через загс и при  наличии несовершеннолетнего ребенка.

СК РФ Статья 21. Расторжение брака в судебном порядке

1. Расторжение брака производится в судебном порядке при наличии у супругов общих несовершеннолетних детей, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 2 статьи 19 настоящего Кодекса, или при отсутствии согласия одного из супругов на расторжение брака.

СК РФ Статья 19. Расторжение брака в органах записи актов гражданского состояния
 

1. При взаимном согласии на расторжение брака супругов, не имеющих общих несовершеннолетних детей, расторжение брака производится в органах записи актов гражданского состояния.
2. Расторжение брака по заявлению одного из супругов независимо от наличия у супругов общих несовершеннолетних детей производится в органах записи актов гражданского состояния, если другой супруг:
признан судом безвестно отсутствующим;
признан судом недееспособным;
осужден за совершение преступления к лишению свободы на срок свыше трех лет.