Можно ли в грузинский суд отправить электронкой документ с России

Полагаю, это возможно. 

Если брать аналогию права, то электронный документооборот допустим, не важно с какой страны вы отправите. Важно соблюдение процессуальных требований, т.е. составление документа на общепринятом языке, наличие данных о заявителе, данных о деле в суде (номер дела, истец, ответчик, вид спора и.т.д.).

Попутно стоит отправить оригинал документа в суд курьерской службой (почтой).

Чтобы ответить более конкретно, нужно знать что это за суд.