Могу я сам вписать дату другой ручкой и снять машину с регистрации

Константин!

Дата может быть написана от руки, только важно, чтобы на всех экземплярах договора она была одинаковой. Если покупатель не регистрирует машину на себя в установленный срок — 10 дней, Вы можете обратиться в ГИБДД с заявлением о прекращении её регистрации по договору купли-продажи. Согласно статье 421 ГК РФ стороны свободны при заключении договоров и определении их условий, вы могли и дату ставить по своему желанию, соответствие дат нужно, скорее, для покупателя.

Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта услуги в чате платные, предоплата. 
Всего доброго!