Здравствуйте Вадим.
Если собственником квартиры является только Ваш отец, то ответственность по платежам лежит исключительно на нем. Его финансовые обязательства могут быть переданы вам в порядке наследования в соответствии с ч.1 статьи 1175 ГК РФ, то есть в пределах размера наследства.
Что касается оформления ИП — ст. 23 ФЗ № 129 «О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей» не содержит причин для отказа в регистрации ИП таких как наличие задолженности у родителей.
Что касается ответственности — в соответствии с Постановлением Федерального арбитражного суда Восточно-Сибирского округа от 21.02.2012 № Ф02-18/12 по делу N А33-9549/2011 граждане, осуществляющие предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, не имеют обособленного имущества, предназначенного для осуществления предпринимательской деятельности. Для ИП имущественная ответственность определяется в соответствии со ст. 24 ГК РФ, которая устанавливает, что гражданин отвечает по своим обязательствам всем принадлежащим ему имуществом, за исключением имущества, на которое в соответствии с законом не может быть обращено взыскание.
Таким образом на Ваше имущество (приобретенный бизнес) может быть наложено взыскание только при наличии у Вас обязательств, на основании решения суда.