Для чего нужен военный билет?

Здравствуйте, Алексей! Да, Вы можете поменять паспорт без военного билета. Если всё-таки сотрудники военкомата заберут Вас на улице, их действия будут неправомерны. По закону во время призывной кампании Вам должны прислать повестку.

Алексей, здравствуйте.
Никаких ограничений на право получить документы, удостоверяющие личность, военный комиссариат наложить не может.
Для загранпаспорта требуется форма, подтверждающая, что Вы не уклоняетесь от призыва и не проходите службу в настоящий момент.
Теперь о действиях военкомата.
п.1 ст.31 (ФЗ «О воинской обязанности и военной службе») — граждане, не пребывающие в запасе, подлежащие призыву на военную службу, обязаны явиться в указанные в повестке
военного комиссариата время и место на медицинское освидетельствование, заседание призывной комиссии или для отправки в воинскую часть для прохождения военной службы, а также находиться в военном комиссариате до начала военной службы.
п.2 Граждане, подлежащие призыву на военную службу, обязаны получать повестки военного комиссариата под расписку. Повестки вручаются гражданам работниками военного комиссариата или по месту работы (учебы) гражданина руководителями, другими ответственными за военно-учетную работу должностными лицами (работниками) организаций. В повестках должны быть указаны правовые последствия невыполнения гражданами изложенных в них требований. 
В случае невозможности вручения повесток гражданам, подлежащим призыву на военную службу, указанными работниками, руководителями или должностными лицами обеспечение их прибытия на мероприятия, связанные с
призывом на военную службу, возлагается на соответствующие органы внутренних дел на основании соответствующего письменного обращения военного комиссариата.
Полиция Вас разыскивать будет вряд ли. Но право на это имеет.
преступление (328 УК РФ) — это за уклонение от явки по повестке.
потому до получения повестки максимальная санкция для Вас предусмотрена ст. ст. 21.5 КоАП РФ-  штраф от 100 до 500 рублей,

По достижении гражданином (за исключением военнослужащих, проходящих службу по призыву) 20-летнего и 45-летнего возраста паспорт подлежит замене.
Для замены паспорта гражданин представляет: заявление по форме, установленной Федеральной миграционной службой; паспорт, подлежащий замене; две личные фотографии размером 35 x 45 мм; документы, подтверждающие указанные в пункте 12 настоящего Положения основания для замены паспорта (п. 13 Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, утвержденного Постановлением Правительства РФ от 08.07.1997 N 828). 

Здравствуйте, нет паспорт без военного Вы не поменяете, ну а по улицам уже давным давно не ловят, тем более сначала надо вручить повестку.

Документы, необходимые для проставления обязательных отметок в паспорте
(военный билет, свидетельства о рождении детей в возрасте до 14-ти лет,
документы, подтверждающие регистрацию по месту жительства).

Здравствуйте, Алексей!

Могу ли я получить паспорт без военного билета? 

Да, можете, военный билет для этого не нужен.

Можно ли получить так же загранпаспорт? 

Можете, но понадобиться справка из военкомата. Поэтому если собираетесь уклоняться, то с получением загранпаспорта могут возникнуть проблемы.

Какова вероятность того, что сотрудники военкомата могут забрать меня на улице — и правомерны ли будут их действия в таком случае?

Сами военкоматчики не могут забрать вас с улицы. Поручают обычно это правоохранительным органам. Но данные действия незаконны. Если раньше привод призывника на призывное мероприятие (не отправку) как таковой признавался законным, то после принятия закона о полиции, вопрос о законности привода призывника в военкомат стал очень спорным.

В общем все это обжалуется без проблем. И не забывайте, что пока вы обжалуете действия военкомата, то призыв приостанавливается и вы не считаетесь уклонившимся. Так может не бегать и не ждать пока вас зачислят в ряды уклонистов, а просто систематически обжаловать все действия. Почти в каждом действии военкомата есть какое-то нарушение.

Удачи!