Здравствуйте,
Согласно пунктов 1 и 3 статьи 58 Федерального закона «Об актах гражданского состояния» от 15.11.1997 N 143-ФЗ
1. Лицо, достигшее возраста четырнадцати лет, вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя и (или) отчество.
3. Перемена имени лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей, усыновителей или попечителя, а при отсутствии такого согласия на основании решения суда, за исключением случаев приобретения лицом полной дееспособности до достижения им совершеннолетия в порядке, предусмотренном законом
Таким образом, изменение имени ребенка, достигшего 14-ти лет возможно с согласия родителей. Вам нужно вместе с ребенком обратиться в ЗАГС или оформить у нотариуса соответствующее согласие.
Второй вариант — установить отцовство, в этом случае не просто изменится имя, но и появятся права и обязанности, основанные на происхождении ребенка.
С уважением, Андрей Козырев