Могут ли его забрать на срочную службу пока он оформляет документы на контракт?

Добрый день. Да, могут, так как он подпадает под исключения ст. 23 и 24 закона о воинской обязанности и военной службе № 53-фз от 1998 года.

В частности в силу ст. 23 указанного Закона

1. От призыва на военную службу освобождаются граждане:
а) признанные ограниченно годными к военной службе по состоянию здоровья;

б) проходящие или прошедшие военную службу в Российской Федерации;
в) проходящие или прошедшие альтернативную гражданскую службу;

Поэтому он может быть призван на военную службу до момента заключения контракта

Здравствуйте, Анна! 

В данном случае, стоит выяснить несколько обстоятельств, прежде чем говорить да или нет.

Ваш сын уже закончил учебное заведение? Диплом на руках?

Какие мероприятия по призыву он прошел в военном комиссариате?

Когда он написал заявление на пункте отбора?