Могу ли без суда решить вопрос об отцовстве, если после развода прошло менее 300 дней?

Нет, не сможете. Вы можете оспорить отцовство в судебном порядке. 

Добрый день!

Статья 51 СК РФ Запись родителей ребенка в книге записей рождений
3. В случае рождения ребенка у матери, не состоящей в браке, при отсутствии совместного заявления родителей или при отсутствии решения суда об установлении отцовства фамилия отца ребенка в книге записей рождений записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка — по ее указанию.

Таким образом, законом не предусмотрено проставление прочерков в графе ОТЕЦ свидетельства о рождении, в нее вписывается ИМЯ и ОТЧЕСТВО с Ваших слов, по Вашему усмотрению.

Если у Вас остались дополнительные вопросы — прошу обратиться ко мне в чат за консультацией.

Здравствуйте,
По п.2 ст.48 Семейного кодекса отцом должны указать вашего бывшего мужа:

Если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное (статья 52 настоящего Кодекса). Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке.Вам придется оспаривать отцовство в судебном порядке (п.1 ст. 52 СК РФ).

У вас есть выбор, оспорить отцовство, исключив запись об отце,  или установить отцовство, указав отцом биологического отца. Во втором случае вы можете взыскать алименты с биологического отца ребенка.
Не указывать отца в записи о рождении возможно, если к моменту рождения ребенка пройдет 300 дней после развода.

С уважением, Андрей Козырев