Можно ли оформить доверенность на меня, чтоб я продала квартиру ее и купила в том городе, где я живу, а квартиру купленную оформила на себя?

Здравствуйте Анастасия!

Можно оформить доверенность на продажу квартиру бабушки и в этой доверенности также указать Ваше право на распоряжение деньгами доверителя.

Тогда Вы сможете купить квартиру на себя, но в этом случае у Вас останется обязанность вернуть бабушке деньги полученные при продаже квартиры, поэтому после продажи квартиры лучше оформить договор дарения на эти деньги между Вами и бабушкой.

ГК РФ Статья 185. Общие положения о доверенности
 

1. Доверенностью признается письменное уполномочие, выдаваемое одним лицом другому лицу или другим лицам для представительства перед третьими лицами.

Здравствуйте!

Продать квартиру.по доверенности можно. 
Согласно статье 185.1 ГК РФ

Доверенность на совершение сделок, требующих нотариальной формы, на подачу заявлений о государственной регистрации прав или сделок, а также на распоряжение зарегистрированными в государственных реестрах правами должна быть нотариально удостоверена, за исключением случаев, предусмотренных законом.

Так как продажа квартиры является сделкой, требующей нотариального заверения, то и доверенность должна быть заверена у нотариусв.

Деньги по такой сделке будут пренадлежать доверитель, то есть бабушке. Следовательно, для покупки квартиры ей необходимо будет передать их Вам либо оформить покупку на себя, а потом передать квартиру по договору дарения.

Дарение между родственниками не облагается налогом.