Вообще-то это выплата проводится в одном месте. Но пробовать законом не запрещено :-)
А если серьезно, то начинайте оформлять там, где зарплата, она наверняка больше стипендии по месту учебы, а размер дохода прямо связан с размером пособия, в общем-то...
Реально происходит так:
Работодатель платит, а фонд соцстрахования возмещает ему потом на основании больничного. Поскольку ФСС — один, то получить может у вас и получится, но потом проблемы возникнут. Поскольку крайний учет пособий — в ФСС.
И участие в этом Фонда соцстрахования, объективно, исключает двойное получение пособия как правомерное событие.
Теоретически это возможно, и даже может получиться, но потом вам вопросов зададут очень много.
Самое смешное, что получить первоначально, может получиться, но по итогам, будет большой разбор полетов. Как я уже пояснял, Фонд не будет компенсацию по одному факту выплачивать нескольким.