Можно ли взять больничный с основного места работы и работать на другой тоже гос работе?

Оплата больничных листок регламентирована федеральным законом 

 от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.12.2019) «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством».

Я  не знаю причины, почему вы скрываете желание (или уже факт) второй работы от первого работодателя. Но вы имеете право работать на двух работах, трудовым законодательством это не запрещено.

Предположим, что вы работаете по основному месту работы, а также по внешнему совместительству — на другой работе. Вы заболели и оформили Листок нетрудоспособности, вы имеете право обратиться к своему первому работодателю за оплатой Листка, так как у второго работодателя вы проработали немного. Если внимательно прочитаете ст.13 ФЗ, вы уведите, что законодатель допускает право работника обращаться за оплатой Листка нетрудоспособности к нескольким работодателям, у которых он работает одновременно (но конечно же при соблюдении определенных условий).

Статья 13. Порядок назначения и выплаты пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, ежемесячного пособия по уходу за ребенком

1. Назначение и выплата пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, ежемесячного пособия по уходу за ребенком осуществляются страхователем по месту работы (службы, иной деятельности) застрахованного лица (за исключением случаев, указанных в частях 3 и 4 настоящей статьи).

2. В случае, если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей и в двух предшествующих календарных годах было занято у тех же страхователей, пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам назначаются и выплачиваются ему страхователями по всем местам работы (службы, иной деятельности), а ежемесячное пособие по уходу за ребенком — страхователем по одному месту работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица и исчисляются исходя из среднего заработка, определяемого в соответствии со статьей 14 настоящего Федерального закона, за время работы (службы, иной деятельности) у страхователя, назначающего и выплачивающего пособие.
2.1. Если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей, а в двух предшествующих календарных годах было занято у других страхователей (другого страхователя), пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, ежемесячное пособие по уходу за ребенком назначаются и выплачиваются ему страхователем по одному из последних мест работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица.
2.2. Если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей, а в двух предшествующих календарных годах было занято как у этих, так и у других страхователей (другого страхователя), пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам назначаются и выплачиваются ему либо в соответствии с частью 2 настоящей статьи страхователями по всем местам работы (службы, иной деятельности) исходя из среднего заработка за время работы (службы, иной деятельности) у страхователя, назначающего и выплачивающего пособие, либо в соответствии с частью 2.1 настоящей статьи страхователем по одному из последних мест работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица.

Второй работодатель ни как не сможет увидеть, что вы оформили Листок нетрудоспособности по 1 месту работы. ФСС не отчитывается перед работодателями кому и сколько он оплачивает Листки. Вопрос в том, как вы оформитесь в двух государственных службах одновременно.