Татьяна, если с вашей свекровью что-то случится, то наследником становится ваш муж (при отсутствии завещания). Наследуются не только права и имущество, но и долги (в объёме принятого наследства).
Долг по квартплате является солидарным долгом, и его уплата в силу его характера может быть возложена на любого из прописанных в квартире жильцов. Прописанные жильцы, если они заинтересованы в использовании жилья, должны участвовать в его содержании (а значит, и оплате его), в ремонте и уплате коммунальных платежей. Если они этого не делают, то такой жилец может утратить право пользования в такой квартире (если он не имеет там доли на праве собственности). Поэтому на сегодняшний день на вашего мужа может быть возложена обязанность по погашению долга. Если смотреть на проблему с этой точки зрения, то она уже есть, так как долг надо гасить. Кроме того, есть нравственные нормы (нигде официально не расписанные), согласно которым взрослый сын обязан помогать своей стареющей матери в любой форме (материально, физически, душевно).