Может ли ребенок 15 лет после 9 класса пойти на платные курсы и потом сразу работать?

Здравствуйте. Может. В соответствии со ст. 63 ТК РФ: 

Лица, получившие общее образование и достигшие возрастапятнадцати лет, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью. Лица, достигшие возраста пятнадцати лет и в соответствии с федеральным законом оставившие общеобразовательную организацию до получения основного общего образования или отчисленные из указанной организации и продолжающие получать общее образование в иной форме обучения, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.