Могу ли я рассчитывать на квартиру без дарственной

 В Гражданском кодексе есть Глава 93. Наследование по закону

Наследование по закону наступает в тех случаях, когда наследодатель не оставил завещания.

Существуют следующие очереди наследования по закону:

1-я очередь — супруг, дети, родители;

2-я очередь — братья и сестры, дедушка и бабушка;

3-я очередь — дяди и тети;

4-я очередь — прадедушки и прабабушки;

5-я очередь — двоюродные внуки и внучки, двоюродные бабушки и дедушки;

6-я очередь — двоюродные правнуки и правнучки, двоюродные племянницы и племянники, двоюродные дяди и тети;

7-я очередь — пасынки и падчерицы, отчим и мачеха;

8-я очередь — нетрудоспособные иждивенцы.

Наследники каждой последующей очереди наследуют, если нет наследников предыдущей очереди
(т.е. они либо отсутствуют, либо не имеют право наследовать, либо
отстранены от наследования, либо лишены наследства, либо никто из них не
принял наследство, либо они отказались от него).

К первой очереди
наследников по закону отнесены дети, супруг и родители наследодателя.
Если все они живы на момент открытия наследства, то они наследуют в
равных долях все имущество, которое осталось после наследодателя. При
отсутствии одного или нескольких из них оставшиеся вступают в наследство
также в равных долях.

Как я понял из вашей ситуации, вы являетесь наследницей пятой очереди. Поэтому у вас есть шансы унаследовать имущество и без дарственной.

Здравствуйте. Прописка на права собственности никак не влияет.

Да. вы наследница по закону,  я бы посоветовала сделать завещание, если возможно. При двоюродном родстве, документы, подтверждающие это родство не всегда есть, а если вы не сможете их собрать, за установлением родства придется обращаться в суд.