На каком основании можно отказаться от ребенка?

Здравствуйте! Это не так просто. Основания для отказа от отцовства изложены в Семейном кодексе, иначе- никак.

СК РФ Статья 69. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;
(в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ, от 28.11.2015 N 358-ФЗ, от 28.03.2017 N 39-ФЗ)

злоупотребляют своими родительскими правами;
жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Зара, здравствуйте!

Согласно пункту 1 статьи 21 Семейного кодека Российской Федерации

расторжение брака производится в судебном порядке при наличии у супругов общих несовершеннолетних детей.

При этом, пунктом 1 статьи 24 названного кодекса установлено.что

при расторжении брака в судебном порядке супруги могут представить на рассмотрение суда соглашение о том, с кем из них будут проживать несовершеннолетние дети.

Таким образом, если у Вас есть несовершеннолетние дети, то по общему правилу расторжение брака будет производиться в судебном порядке, где Вы и сможете представить соглашение о том с кем будет проживать ребенок.