Ольга
для начала советую обратить внимание на ст. 67 ТК РФ (ч.2)
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.
ст. 68 ТК РФ указывает, что прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора. Содержание приказа (распоряжения) работодателя должно соответствовать условиям заключенного трудового договора.
Отсюда — формально повод для увольнения без надлежащего оформления есть, но учитывая положения ст. 67 ТК РФ работник может обжаловать увольнение и привлечь свидетелей для доказывания своей работы у вас. То есть -увольнение лучше провести правильно, как предписывают нормативные акты