Добрый день!
Да, Вы можете управлять автомобилем, что касается проверки документов сотрудником ГИБДД, то здесь все хорошо, доверенность предъявлять нет необходимости, поскольку в силу п. 2.1.1. ПДД РФ
Водитель обязан иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им, для проверки:
водительское удостоверение или временное разрешение на право управления транспортным средством соответствующей категории или подкатегории;
регистрационные документы на данное транспортное средство (кроме мопедов), а при наличии прицепа — и на прицеп (кроме прицепов к мопедам);
в установленных случаях разрешение на осуществление деятельности по перевозке пассажиров и багажа легковым такси, путевой лист, лицензионную карточку и документы на перевозимый груз, а при перевозке крупногабаритных, тяжеловесных и опасных грузов — документы, предусмотренные правилами перевозки этих грузов;
документ, подтверждающий факт установления инвалидности, в случае управления транспортным средством, на котором установлен опознавательный знак «Инвалид»;
страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства или распечатанную на бумажном носителе информацию о заключении договора такого обязательного страхования в виде электронного документа в случаях, когда обязанность по страхованию своей гражданской ответственности установлена федеральным законом.
Если произошло ДТП, нужно смотреть по чьей вине оно произошло, если по Вашей вине, то на Вас может быть возложена обязанность возместить причиненный ущерб, в том числе если автомобиль застрахован по полису КАСКО, если не по Вашей вине, то каких-либо проблем с выплатой по договору ОСАГО быть не должно (при наличии договора ОСАГО у второй стороны). Порядок оформления документов в случае отсутствия у Вас доверенности не изменится.
Действия в случае ДТП, согласно п. 2.5 ПДД РФ
При дорожно-транспортном происшествии водитель, причастный к нему, обязан немедленно остановить (не трогать с места) транспортное средство, включить аварийную сигнализацию и выставить знак аварийной остановки в соответствии с требованиями пункта 7.2 Правил, не перемещать предметы, имеющие отношение к происшествию. При нахождении на проезжей части водитель обязан соблюдать меры предосторожности.