Добрый день, Алексей. Вам (если это Ваша бабушка) необходимо обращаться в районный суд с заявлением об установлении факта имеющего юридическое значение. Согласно ч. 1 ст. 264 ГПК РФ
Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.
Согласно п. 5 ч. 2 ст. 264 ГПК РФ
Суд рассматривает дела об установлении:
факта принадлежности правоустанавливающих документов (за исключением воинских документов, паспорта и выдаваемых органами записи актов гражданского состояния свидетельств) лицу, имя, отчество или фамилия которого, указанные в документе, не совпадают с именем, отчеством или фамилией этого лица, указанными в паспорте или свидетельстве о рождении.
В решении суда на основании ответа из архива будет как раз указано, что свидетельство о рождении принадлежит гр. БаргЕн, что Вам и требуется.
Такое заявление нужно подавать в районный суд по месту жительства заявителя. т.е. того кто подает заявление (ст. 266 ГПК РФ).
Согласно ст. 267 ГПК РФ
При необходимости, могу помочь с составлением такого документа, пишите в личный чат.