Могу ли я не ставить машину на учёт и ездить по договору купли-продажи?

Доброго времени!
Увы, нет.

По Постановлению Правительства РФ от 12.08.1994 N 938 (ред. от 06.10.2017) «О государственной регистрации автомототранспортных средств и других видов самоходной техники на территории Российской Федерации»

3. Собственники транспортных средств либо лица, от имени собственников владеющие, пользующиеся или распоряжающиеся на законных основаниях транспортными средствами (далее именуются — владельцы транспортных средств), обязаны в установленном порядке зарегистрировать их или изменить регистрационные данные в Государственной инспекции, или военных автомобильных инспекциях (автомобильных службах), или органах гостехнадзора в течение срока действия регистрационного знака «Транзит» или в течение 10 суток после приобретения, выпуска в соответствии с регулирующими таможенные правоотношения международными договорами и другими актами, составляющими право Евразийского экономического союза, и законодательством Российской Федерации о таможенном деле, снятия с учета транспортных средств, замены номерных агрегатов или возникновения иных обстоятельств, потребовавших изменения регистрационных данных. 

Аналогичное требование содержится и в Правилах государственной регистрации автомототранспортных средств и прицепов 

6. Владелец транспортного средства обязан в установленном настоящими Правилами порядке зарегистрировать транспортное средство или внести изменения в регистрационные данные транспортного средства в течение 10 суток после приобретения, выпуска в обращение транспортного средства в соответствии с регулирующими таможенные правоотношения международными договорами и другими актами, составляющими право Евразийского экономического союза, или возникновения иных обстоятельств, потребовавших изменения регистрационных данных.

Ответственность за нарушение указанных норм предусмотрена ст. 12.1 КоАП РФ. На первый раз штраф небольшой, но потом куда серьзнее или лишение прав. 

Статья 12.1. Управление транспортным средством, не зарегистрированным в установленном порядке, транспортным средством, не прошедшим государственного технического осмотра или технического осмотра
1. Управление транспортным средством, не зарегистрированным в установленном порядке, —

влечет наложение административного штрафа в размере от пятисот до восьмисот рублей.
(в ред. Федеральных законов от 05.04.2010 N 47-ФЗ, от 23.07.2013 N 196-ФЗ)

1.1. Повторное совершение административного правонарушения, предусмотренного частью 1 настоящей статьи, — влечет наложение административного штрафа в размере пяти тысяч рублей или лишение права управления транспортными средствами на срок от одного до трех месяцев.
(часть 1.1 введена Федеральным законом от 23.07.2013 N 196-ФЗ)