Мария, добрый день, начнем с того договор между Вами как таковой не заключался.
Я, ФИО хозяйки, получила такую то сумму за аренду квартиры и число, когда писулька написана.
Ну собственно это не договор, так как отсутствуют существенные условия, договора между Вами заключено не было. Собственно и сдача квартиры сама по себе законна.
Согласно ст. 673 ГК РФ и 674 ГК РФ:
1. Объектом договора найма жилого помещения может быть изолированное жилое помещение, пригодное для постоянного проживания (квартира, жилой дом, часть квартиры или жилого дома).
1. Договор найма жилого помещения заключается в письменной форме.
Собственно у Вас нет какой бы то ни было конкретизации предмета договора (следовало указать адрес и иные реквизиты квартиры), чего в данном случае не усматривается.
А раз нет факта заключения договора, но тем не менее подтверждается факт получения денежных средств, то можно говорить о неосновательном обогащении со стороны арендодателя в силу ст. 1102 ГК РФ:
Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса.
По неосновательному можно даже попробовать взыскать всю сумму, однако на расписке должно быть указано от кого передаются денежные средства. Если расписка односторонняя, то будет сложновато.
Есть ещё скрин объявления о сдаче квартиры
Ну а это вообще не доказательство.