Иван, а вам не нужно ничем апеллировать, брекеты — несъемная конструкция, вы их сами не снимите, командование не может дать такой приказ вам, это не в ваших силах и вне служебных отношений. Если попробуют потребовать — просите письменный приказ, чтобы его обжаловать как незаконный, вынесенный с превышением полномочий. Ведь согласно п. 41 Указа Президента РФ от 10.11.2007 N 1495 «Об утверждении общевоинских уставов Вооруженных Сил Российской Федерации» (вместе с «Уставом внутренней службы Вооруженных Сил Российской Федерации», «Дисциплинарным уставом Вооруженных Сил Российской Федерации», «Уставом гарнизонной и караульной служб Вооруженных Сил Российской Федерации»)
41. Приказ (приказание) должен соответствовать федеральным законам, общевоинским уставам и приказам вышестоящих командиров (начальников). Отдавая приказ (приказание), командир (начальник) не должен допускать злоупотребления должностными полномочиями или их превышения.
Дополнение выходит за рамки вопроса, так как требует познаний медицинских в том числе, потребовать снять в принципе не могут — а по годности — зависит от проблем с зубами, которые решаются системой брекетов.